LOGIKA MATEMATIKA
Disusun Oleh :
Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.
UNIVERSITAS GUNADARMA
PONDOK CINA, MARET 2003
Pertemuan 1
Sebuah himpunan adalah kumpulan obyek atau simbol yang memiliki sifat yang sama. Anggota himpunan disebut elemen.
Contoh 1.1.
D himpunan nama hari dalam satu minggu.
M himpunan mahasiswa jurusan teknik informatika di Universitas Gunadarma.
N himpunan bilangan asli. ð
Sebuah himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk daftar anggota (bentuk pendaftaran) atau dengan menyebutkan sifat yang dimiliki oleh semua anggota (bentuk pencirian).
Contoh 1.2.
D = { Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu }
= { x | x nama hari dalam satu minggu } ð
Himpunan P disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan Q, jika setiap anggota P merupakan anggota Q. Hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis sebagai P Ì Q. Dengan cara lain, hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis sebagai Q É P dan dibaca Q superset dari P atau P terdapat di dalam Q .
Contoh 1.3.
Mahasiswa tingkat dua dari jurusan teknik informatika di Universitas Gunadarma merupakan anggota dari himpunan M pada contoh 1.1 di atas. Jika P merupakan himpunan mahasiswa tingkat dua tersebut, maka P merupakan himpunan bagian dari himpunan M dan ditulis sebagai P Ì M. Dapat pula ditulis sebagai M É P dan dibaca M superset dari P . ð
Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) jika mereka tidak memiliki anggota bersama.
Contoh 1.4.
Himpunan mahasiswa S1 Universitas Gunadarma dan himpunan dosen S1
Universitas Gunadarma merupakan himpunan yang saling lepas. ð
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinyatakan sebagai { } atau Æ .
Contoh 1.5.
A = { x | x bilangan asli dan x < 1 } = Æ. ð
Dalam rangka menyelidiki hubungan antara beberapa himpunan, seringkali dibutuhkan pendefinisian sebuah himpunan yang disebut himpunan semesta. Himpunan-himpunan lain yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta tersebut. Himpunan semesta biasanya dinyatakan sebagai himpunan S atau U .
Contoh 1.6.
Himpunan bilangan riil R merupakan semesta dari himpunan bilangan asli N dan himpunan bilangan bulat Z . ð
Dua buah himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota yang benar-benar sama.
Contoh 1.7.
{ x | x + 2 = 4 } = { y | 3 y = 6 }. ð
Diagram Venn biasa digunakan untuk menggambarkan himpunan dan hubungan antar himpunan. Anggota dari setiap himpunan ditempatkan dalam sebuah bentuk tertutup, biasanya lingkaran. Himpunan semesta didefinisikan harus mengandung semua himpunan lain dan biasa digambarkan dengan sebuah segi empat.
Contoh 1.8.S = himpunan bilangan riil.
Z = himpunan bilangan bulat.
N = himpunan bilangan asli. ð
Jika S adalah himpunan semesta dan himpunan A Ì S , komplemen dari A , ditulis A’ , adalah himpunan dari semua anggota S yang bukan merupakan anggota A .
A’ = { x | x ÏA }
Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya.
A È B = { x | x ÎA atau x ÎB }
Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B.
A Ç B = { x | x ÎA dan x ÎB }
Contoh 1.9.
Diketahui
S = { k | k Î Z , 1 £ k £ 12 }
A = { x | x Î Z , 1 < x < 10 }.
B = { y | y Î Z , y kelipatan 3 dan 3 £ y £ 12 }. ð
Gambarkan diagram Venn yang memperlihatkan hubungan ketiga himpunan tersebut dan hitung banyaknya anggota A ÈB, A Ç B, A’, B’, A’ ÇB’ .
Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...
Gambar di bawah ini menunjukkan beberapa keadaan yang mungkin terjadi.
 Kondisi
Operasi |
A Ç B ¹ Æ |
A Ç B = Æ |
B Ì A |
|
A È B daerah berbayang |
n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B) |
n(A È B) = n(A) + n(B) |
n(A È B) = n(A) |
|
A Ç B daerah berbayang |
n(A Ç B) = n(A) + n(B) – n(A È B) |
n(A Ç B) = 0
|
n(A Ç B) = n(B)
|
Selain ketiga operasi tersebut di atas, pada himpunan berlaku pula operasi selisih dan operasi selisih simetri.
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B.
A - B = { x | x ÎA dan x ÏB }.
Jelas bahwa
B - A = { x | x ÎB dan x ÏA }.
Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A D B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan himpunan A dan B.
A D B = ( A È B ) – ( A Ç B )
atau
A D B = ( A – B ) È ( B - A ).
Banyaknya anggota himpunan D (kardinalitas D) dinyatakan sebagai n(D) atau |D|.
Contoh 1.10.
Dari contoh sebelumnya, n(D ) = 7, n(N ) tak hingga. ð
Contoh 1.11.
Sebuah survei dilakukan terhadap 30 siswa SD dan diperoleh data berikut :
B himpunan siswa yang memiliki sepeda, D himpunan siswa yang memiliki anjing. n(B)=23 , n(D)=10, n(B Ç D) = 6.
Tentukan :
a). banyaknya anak yang memiliki sepeda dan anjing.
b). banyaknya anak yang tidak memiliki sepeda maupun anjing.
c). banyaknya anak yang memiliki salah satu sepeda atau anjing, tapi tidak keduanya.
Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ... ð
Soal Latihan 1.1.
1. Sajikan himpunan A = { x ê x + 2 < 10, x Î Z+ } dalam bentuk pendaftaran.
2. Tunjukkan bahwa jika A Í B dan B Í C , maka A Í C.
3. Tunjukkan bahwa himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan bagian dari A È B.
4. Tunjukkan bahwa (A Ç B) merupakan himpunan bagian dari himpunan A dan dari himpunan B.
5. Tunjukkan bahwa jika A dan B adalah himpunan, maka (A – B) Í (A È B).
6. Tunjukkan bahwa jika A Í B, maka A È B = B.
Himpunan di bawah operasi gabungan, irisan dan komplemen memenuhi berbagai hukum aljabar. Tabel berikut menampilkan hukum-hukum yang berlaku pada operasi himpunan tersebut.
| Hukum Asosiatif | ( A È B ) È C = A È ( B È C ) | ( A Ç B ) Ç C = A Ç ( B Ç C ) |
| Hukum Komutatif | A È B = B È A | A Ç B = B Ç A |
| Hukum Distributif | A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç (A È C ) | A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È (A Ç C ) |
| Hukum Involusi | (A’) ’ = A |
| Hukum Idempoten | A È A = A | A Ç A = A |
| Hukum Identitas | A È Æ = A | A Ç S = A |
| Hukum Komplemen | A È A’ = S | A Ç A’ = Æ |
| Hukum de Morgan | ( A È B ) ‘ = A’ Ç B’ | ( A Ç B )’ = A’ È B’ |
Contoh 1.12.
Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan bahwa
( P È Q ) Ç ( P’ Ç R )’ = P È ( Q’ È R )’ .
Jawab :
| Pernyataan ( P È Q ) Ç ( P’ Ç R )’ = ( P È Q ) Ç ( (P’ )’ È R’ ) (P’ )’ = P \( P È Q ) Ç ( P’ Ç R )’ = ( P È Q ) Ç ( P È R’ ) ( P È Q ) Ç ( P È R’ ) = P È ( Q Ç R’ ) ( Q Ç R’ ) = ( Q’ È R )’ \( P È Q ) Ç ( P’ Ç R )’ = P È ( Q’ È R )’ | Alasan hukum de Morgan hukum involusi substitusi hukum distribusi hukum de Morgan substitusi |
ð
Contoh 1.13.
Jika P, Q dan R adalah himpunan,
tunjukkan bahwa P’ È (Q Ç R)’ Ç (P’ Ç Q’ ) = P’ Ç Q’
Jawab : ...diserahkan kepada pembaca.... ð
Soal Latihan 1.2.
1. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç B’ ) = A.
2. Buktikan bahwa, jika A È B = S, maka A’Í B. (S = semesta).
3. Buktikan bahwa A Ç (A’ È B ) = A Ç B.
Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi.
Contoh 2.1.
Misalkan M = { Ami, Budi, Candra, Dita } dan N = { 1, 2, 3 }. Misalkan pula, Ami berusia 1 tahun, Budi berusia 3 tahun, Candra berusia 2 tahun dan Dita berusia 1 tahun, maka kita dapat menuliskan sebuah himpunan P = {(Ami, 1), (Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)} dimana P merupakan himpunan pasangan terurut yang menggambarkan hubungan antara himpunan M dengan himpunan N. Himpunan P merupakan relasi antara himpunan M dengan himpunan N dan dapat ditulis sebagai P = { (x,y) | x berusia y, dimana xÎM dan yÎN }. ð
Misalkan A dan B adalah sembarang himpunan yang tidak kosong. Perkalian Cartesian A x B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dimana xÎA dan yÎB.
A x B = { (x,y) | untuk setiap xÎA dan yÎB }
Contoh 2.2.
Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.
C x D = { (2,x) , (2,y) , (3,x) , (3,y) , (4,x) , (4,y) }
D x C = { (x,2) , (y,2) , (x,3) , (y,3) , (x,4) , (y,4) } ð
Banyaknya anggota himpunan hasil perkalian cartesian A x B sama dengan hasil kali antara banyaknya anggota A dengan banyaknya anggota B .
n(A x B ) = n (A ) x n(B ) .
Pada umumnya, A x B ¹ B x A . Akan tetapi n(A x B ) = n (B x A ).
Contoh 2.3.
1. Dari contoh 2.2. di atas, diketahui n(C ) = 3 dan n(D) = 2.
Dengan demikian n(C x D ) = 3 x 2 = 6.
2. Dari contoh 2.1. di atas, n(M x N ) = n(N x M ) = 12. ð
Sebuah relasi R yang memasangkan anggota himpunan A kepada anggota himpunan B merupakan sebuah himpunan bagian dari perkalian cartesian A x B, ditulis R : A ® B .
Jika sebuah relasi R didefinisikan pada himpunan A , maka R Í A x A dan ditulis R : A ® A .
Contoh 2.4.
1. Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.
Sebuah relasi R1: C ® D didefinisikan sebagai R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x), (4,y) }. Jelas bahwa R1 Í C x D.
2. Relasi R2 : G ® G didefinisikan pada himpunan G = {5, 7, 11} sebagai R2 = { (x,y) |x < y, dimana x, yÎG }. Relasi tersebut dapat dinyatakan sebagai R2 = {(5,7),(5,11), (7,11)} dan jelas bahwa R2 Í G x G.
3. Diketahui Q = {w, k} . Tentukan Q x Q dan relasi R3 = { (x,y) | x ¹ y, x, yÎQ }. Apakah R3 Í Q x Q ? ð
Jika A dan B adalah himpunan yang masing-masing memiliki sebanyak n(A) dan n(B) anggota, maka n(A x B) = n(A) x n(B). Setiap relasi yang memasangkan anggota A dengan anggota B merupakan himpunan bagian dari perkalian cartesian A x B . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa dapat didefinisikan sebanyak ................... relasi yang memasangkan anggota A kepada anggota B .
Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu : himpunan pasangan terurut dalam bentuk pendaftaran (tabulasi), himpunan pasangan terurut dalam bentuk pencirian, diagram panah, diagram koordinat atau grafik relasi, matriks relasi, bentuk graf berarah (digraf)
Contoh 2.5.
Diketahui C = { 2, 3, 4 }, D = { x, y } dan sebuah relasi yang ditulis dalam bentuk pendaftaran R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x), (4,y) }. Relasi tersebut dapat disajikan dalam bentuk lain, misalnya :
Bentuk diagram panah Bentuk diagram koordinat Bentuk Matriks
ð
Setiap relasi R dari himpunan A kepada himpunan B memiliki invers yang dinamakan R-1 dari himpunan B kepada himpunan A, yang ditulis sebagai
R-1 = { ( y , x ) | ( x , y ) Î R }
Dengan kata lain, relasi invers R-1 dari R mengandung pasangan-pasangan terurut yang bila dibalikkan akan terkandung dalam relasi R .
Contoh 2.6.
Misalkan A = {1, 2, 3}, B = { a, b} dan relasi R = { (1,a) , (2,a) , (2,b) , (3,a) } merupakan relasi dari A pada B. Invers dari relasi R adalah relasi
R-1 = { (a,1) , (a,2) , (b,2) , (a,3) }. ð
Contoh 2.7.
Misalkan W = {a, b, c}, relasi R = { (a,b) , (a,c) , (c,c) , (c,b) } merupakan relasi pada W . Invers dari relasi R adalah relasi
R-1 = { (b,a) , (c,a) , (c,c) , (b,c) } ð
Soal Latihan 2.1.
1. Diketahui G = { 5, 7, 11 }. Tentukan G x G dan n(G x G ).
2. Diketahui himpunan A = {a, b} dan himpunan B = { 9 }. Tentukan semua relasi R : A ® B yang dapat didefinisikan dan hitung jumlahnya.
3. Diketahui himpunan C = {x, y}. Tentukan semua relasi R : C ® C yang dapat didefinisikan dan hitung jumlahnya.
4. Misalkan D = {1, 3, 5, 9}. Pada himpunan tersebut didefinisikan relasi
a. R 1 = { (x,y) | x ³ y }
b. R 2 = { (x,y) | x + 2 £ y }
c. R 3 = { (x,y) | x.y ³ 50 }
Sajikan relasi-relasi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan terurut.
Tentukan invers dari setiap relasi tersebut.
5. Nyatakan invers dari tiap relasi berikut :
a. R = { (x,y) | x habis dibagi oleh y, x, y ÎZ }
b. R = { (x,y) | x £ y, x, y ÎZ }
c. R = { (x,y) | x – 4 = y, x, y ÎZ }
Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap a Î A berlaku (a,a) Î R.
Contoh 2.8.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R1 = { (1,1), (1,2), (2,2),
(2,3) , (3,3) , (3,2) }. Relasi R1 tersebut bersifat refleksif. ð
Contoh 2.9.
Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R2={(x,y)|x kelipatan y, x,yÎB }. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat refleksif. ð
Contoh 2.10.
Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R3 = {(x,y)|x + y <10, x,yÎA}. Maka R3={(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4)}. Relasi R3 tersebut tidak bersifat refleksif. ð
Relasi R bersifat simetris jika untuk setiap (a,b) Î R berlaku (b,a) Î R.
Contoh 2.11.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R4 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }. Relasi R4 tersebut bersifat simetris. ð
Contoh 2.12.
Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) | x kelipatan y , x,y Î B } = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }. Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) Î R2 tetapi (2,4) Ï R2. ð
Relasi R bersifat transitif, jika untuk setiap (a,b)ÎR dan (b,c)ÎR berlaku (a,c)ÎR.
Contoh 2.13.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A didefinisikan relasi R4 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R4 tersebut bersifat transitif. ð
Contoh 2.14.
Relasi R1 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2) } yang didefinisikan pada himpunan A = {1, 2, 3 } tidak bersifat transitif, karena terdapat (1,2) Î R1 dan (2,3) Î R1, tetapi (1,3) Ï R1 . ð
Relasi R dikatakan bersifat antisimetris jika untuk setiap (a,b) Î R dan (b,a) Î R berlaku a = b.
Contoh 2.15.
Pada himpunan B = { 2, 4, 5 } didefinisikan relasi R2 = { (x,y) | x kelipatan y , x,y Î B }. Dengan demikian R2 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat antisimetris. ð
Contoh 2.16.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A didefinisikan relasi R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R5 tersebut tidak bersifat antisimetris karena terdapat (1,2)ÎR5 dan (2,1) Î R5, tetapi 1 ¹ 2. ð
Relasi R disebut sebagai sebuah relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif.
Contoh 2.17.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A didefinisikan relasi R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R5 tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R5 merupakan relasi ekivalen. ð
Contoh 2.18.
Diketahui B = { 2, 4, 5 }.
Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) | x kelipatan y , x,y Î B }.
R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }
Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen. ð
Relasi R disebut sebagai sebuah relasi pengurutan sebagian (partial ordering), jika relasi tersebut bersifat refleksif, transitif dan antisimetris.
Contoh 2.19.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A didefinisikan relasi R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R5 tersebut bersifat refleksif dan transitif, tetapi tidak bersifat antisimetris. Oleh karena itu relasi tersebut bukan merupakan relasi pengurutan sebagian. ð
Contoh 2.20.
Diketahui B = { 2, 4, 5 }.
Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) | x kelipatan y , x,y Î B }.
R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }
Relasi R2 tersebut bersifat refleksif, antisimetris dan transitif. Oleh karena itu relasi tersebut merupakan relasi pengurutan sebagian. ð
Soal Latihan 2.2.
1. Diketahui D = { x | x garis lurus }
Pada D didefinisikan relasi R = { (x,y) | x sejajar y, x Î D , y Î D }
Relasi R tersebut bersifat .....................................................
2. Diketahui P = { x | x subset dari himpunan A }
Pada P didefinisikan relasi R = { (x,y) | x Í y , x Î P , y Î P }
Relasi R tersebut bersifat .....................................................
3. Diketahui D = { x | x garis lurus }
Pada D didefinisikan relasi R = { (x,y) | x tegak lurus y, x Î D , y Î D }
Relasi R tersebut bersifat .....................................................
4. Relasi-relasi berikut didefinisikan pada himpunan B = { 2, 4, 5 }.
a. R = { (2,2) , (4,4) , (5,5) }
b. R = { (2,4) , (4,5) , (2,5) , (5,2) , (2,2) }
c. R = { (5,4) }
d. R = { (x,y) | x habis membagi y , x,y Î B }.
Tentukan sifat yang dimiliki oleh masing-masing relasi tersebut.
5. Relasi-relasi berikut didefinisikan pada himpunan Z (himpunan bilangan bulat).
a. R = { (2,2) , (4,4) , (5,5) }
b. R = { (2,4) , (4,5) , (2,5) , (2,2) }
c. R = { (5,4) }
d. R = { (x,y) | x habis membagi y }.
e. R = { (x,y) | x ³ y }.
Tentukan sifat yang dimiliki oleh masing-masing relasi tersebut.
6. Diketahui D = { x | x garis lurus }. Pada D didefinisikan relasi
a. R = { (x,y) | x sejajar y, x Î D , y Î D }
b. R = { (x,y) | x tegak lurus y, x Î D , y Î D }
c. R = { (x,y) | x berpotongan dengan y, x Î D , y Î D }
Di antara ketiga relasi tersebut, sebutkan relasi yang merupakan relasi ekivalen dan relasi yang merupakan relasi pengurutan sebagian.
Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak kosong. Sebuah relasi f dari A pada B disebut fungsi jika untuk setiap x Î A terdapat satu dan hanya satu y ÎB dimana (x ,y ) Î f .
Contoh 3.1.
Relasi R1 didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R1 = {(3,4),(4,4), (5,3)}. Relasi R1 tersebut merupakan sebuah fungsi.
Relasi R2 didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R2 = {(3,4),(3,5), (4,4), (5,3)}. Relasi R2 tersebut bukan sebuah fungsi.
Relasi R3 didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R3 = {(3,4),(3,5), (5,3)}. Relasi R3 tersebut bukan sebuah fungsi. ð
Jika f merupakan fungsi yang memasangkan kepada setiap anggota A satu dan hanya satu anggota B , atau ditulis f : A ® B, maka A disebut sebagai domain dan B disebut sebagai co-domain. Jika f(x) = y , maka y disebut image dari x di bawah f dan x disebut preimage dari y .
Contoh 3.2.
Dari contoh 1, fungsi R1 = {(3,4),(4,4), (5,3)}. Himpunan A = {3, 4, 5} merupakan domain dan co-domain dari fungsi R1 . ð
Daerah hasil (range) dari f : A ® B adalah himpunan image dari semua anggota A di bawah fungsi f.
Contoh 3.3.• f(a) = X.
• image dari d adalah X.
• domain dari f adalah P = {a, b, c, d}
• co-domain dari f adalah Q = { X, Y, Z }
• f(P) = { X, Y }
• preimage dari Y adalah c
• preimage dari X adalah a, b dan d
• f({c,d}) = {X,Y }
• range dari f adalah {X,Y } ð
Misalkan f sebuah fungsi dari himpunan A pada himpunan B. Fungsi f disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau injectif jika semua preimage adalah unik. Dengan kata lain, jika a ¹ b maka f(a) ¹ f(b) . Fungsi f disebut fungsi pada (onto) atau surjectif jika setiap y pada B memiliki preimage. Dengan kata lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam A demikian hingga f(x) = y . Fungsi f disebut bijectif, jika f merupakan fungsi satu-satu dan pada .
Contoh 3.4.
1. Fungsi pada contoh 3.3 di atas bukan merupakan fungsi satu-satu dan bukan merupakan fungsi pada. Dengan demikian, fungsi tersebut bukan merupakan fungsi bijektif.
Nyatakan fungsi-fungsi berikut sebagai fungsi satu-satu, fungsi pada atau fungsi bijektif.
ð
Jika terdapat bijeksi antara himpunan A dan himpunan B, maka banyaknya anggota kedua himpunan tersebut harus sama. Dengan kata lain, kedua himpunan tersebut harus memiliki kardinalitas yang sama.
Misalkan f sebuah fungsi dari himpunan A pada himpunan B. Invers dari fungsi f adalah relasi f -1 : B ® A dimana f -1(B) = { x | f (x) = y , xÎA, yÎB }.
Contoh 3.5.
Diketahui fungsi f : P ® Q
Invers dari fungsi tersebut adalah
f -1 : Q ® P :
ð
Contoh 3.6.
Diketahui fungsi f : P®Q , dimana P = { 2,4,6 }, Q = { 1,2,4,9,16,25,36 } dan f(x) = x2. Invers dari fungsi f adalah f -1(x) = Öx dimana x Î Q dan f -1(x)ÎP ð
Sebuah fungsi disebut sebagai fungsi invers jika invers dari fungsi tersebut merupakan sebuah fungsi.
Contoh 3.7.
Fungsi f dari contoh soal 3.5. di atas bukan fungsi invers, karena f-1 bukan fungsi. ð
Misalkan f : B à C dan g : A à B adalah fungsi. Komposisi f dengan g , ditulis fog adalah fungsi dari A kepada C yang didefinisikan sebagai fog(x) = f(g(x)).
Contoh 3.8.
Jika f (x) = x2 dan g (x) = 2x + 1, maka fog (x) = f(g (x)) = (2x+1)2
dan gof (x) = g (f (x)) = 2x2 + 1. ð
Contoh 3.9.
fog(a) = r , fog(b) = r , fog(c) = p , fog(d) = r . ð
Soal Latihan 3.1.
1. Di antara relasi-relasi berikut, relasi manakah yang merupakan fungsi ?
2. Fungsi-fungsi berikut didefinisikan pada himpunan bilangan riil R. Tentukan fungsi yang merupakan fungsi satu-satu, fungsi pada atau fungsi bijektif.
a. f(x) = x
b. f(x) = x2
c. f(x) = x3
d. f(x) = | x |
3. Fungsi-fungsi berikut didefinisikan pada himpunan bilangan riil R. Tentukan invers dari setiap fungsi tersebut dan tentukan fungsi yang merupakan fungsi invers.
a. f(x) = x
b. f(x) = x2
c. f(x) = x3
d. f(x) = | x |
4. Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Tentukan semua fungsi invers yang dapat didefinisikan untuk memetakan A pada A.
5. Diketahui f(x) = 2 x . Tentukan
a. f(N ) ; N = himpunan bilangan asli.
b. f(Z ) ; Z = himpunan bilangan bulat.
c. f(R ) ; R = himpunan bilangan riil.
